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直線、正方形、三角形、圓形，都是大家熟悉的基本幾何圖形。平面造型設計師經常把一些幾何圖形匯合起來，創造出美麗的圖案。數學家則懷有更大的抱負，懂得運用極多面積微小的基本圖形來創作圖案。這些圖案異常複雜，卻非常勻稱整齊。下圖展示了兩個著名的例子：謝爾平斯基鏤墊（Sierpinski
gasket）及科赫曲線（Koch curve）。於70年代，數學家曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）把以上兩個例子，及其他許多有關的幾何圖形，命名為「分形」。
(謝爾平斯基鏤墊 )
(科赫曲線)
讓我們首先研究一下謝爾平斯基鏤墊。建構謝爾平斯基鏤墊須要定出如下圖所示的衍生元（generator），亦稱為第1級圖形（level
1 object）。以縮小了的複製衍生元，取代上一個級別中所有實心三角形，便會得出繼後級別的圖形。動手繪畫的話，完成幾個級別已足以教人吃力不已。不過，有賴於數學家的豐富想像力，我們可以輕易到達無邊的級別，然後才得到謝爾平斯基鏤墊。
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(第1級-衍生元） |
( 第2級) |
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( 第3級)
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( 第4級) |
本網頁的圖片根本未能清楚展示謝爾平斯基鏤墊的詳盡細節。幸運的是，我們可以改為觀看動畫片。從片中可以看到，不斷把左下角拉近會發生甚麼事情。留意相同的謝爾平斯基鏤墊一再重複出現。整個謝爾平斯基鏤墊內部實際上給自己的縮影鑲滿了！這種現象稱為自相似性，是每種分形必備的特徵。儘管如此，別嘗試等待短片顯現起始的微小三角形。要看到這些三角形，人類須要花極長的時間，獲得無限的放大倍數才能夠做得到呢！
謝爾平斯基鏤墊動畫片
實心三角形是二維圖形，但是，線即使給屈折成三角形框架，卻始終是一維圖形。從另一方面來說，謝爾平斯基鏤墊的密度雖然比實心三角形低，卻比三角形框架高得多。因此，數學家歸納出維數的概念，曼德爾布羅特稱之為分形維數。籠統來說，分形維數用來表明相對於具有維數一、二、三，等等一般非分形物的「稠密」度。數學家發現，謝爾平斯基鏤墊具有的維數，最貼切的描述是維數log
3/log 2 = 1.585！同樣道理，重複以科赫曲線的衍生元取代線段，便可以建構科赫曲線，如下圖所示一樣。科赫曲線的分形維數是
log 4/log 3 = 1.262。
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(第1級-衍生元） |
(第2級) |
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( 第3級) |
(第4級) |
為甚麼科學家要研究分形呢？因為分形不僅在實驗室中出現，而且在圍繞我們的大自然中也找得到。著名的例子有海岸線、山脈、河流網絡、雲、血管、西蘭花、蕨類植物的葉，等等。
香港島的面積有78平方公里，那麼海岸線又有多長呢？若果你試圖在地理科教科書內找尋答案，準會失望而回。其實，海岸線是分形，與科赫曲線極為相似。別忘記，量度曲線的長度，可以用繩盡量覆蓋曲線，然後量度出繩有多長。大家可以用圓形來試一試。本人對實際的長度，其實不感興趣。更值得留意的，是繩的粗幼無關重要，不過一定要比圓形的直徑細很多。現在，試試用不同粗幼的繩，量度科赫曲線的長度。這次，你可能會因為自己的發現而感到意外：繩愈細，科赫曲線看來愈長！事實上，科赫曲線是無限長的。要顯示這一點，需要一條無限細的繩，或者以更好的辦法，改用數學証明。海岸線類似無限長的分形曲線。香港島或許細小了一點，用作深入分析，似乎略為偏頗。舉英國為例，有人發現英國的海岸線，是具有維數1.25的分形。
在大自然中可以找到的分形，我們要自己建構的話，並不困難。物理學家威滕（Tom Witten）與桑德（Len Sander），於1981年創造了一個美麗的分形，叫作擴散置限聚集。只要按一下按鈕，你便可以利用下方的模擬(單按下圖開啟連結)，製造擴散置限聚集的例子。最有趣的是每次模擬都會提供不同的圖案。這個模擬原本的其中一個動機，是模擬灰塵微粒積聚成為較大的灰塵球的情況。因此，你會在模擬中觀察得到，微粒到處不斷隨機徘徊，直到碰巧給找著，黏合成灰塵球。科學家後來發現，擴散置限聚集更加能夠摸擬石中的礦藏、樹枝狀珊瑚、細菌群落，等等。順帶一提，擴散置限聚集是具有維數1.72的分形。
(Java語言小應用程式-單按上圖開啟連結)
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